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Academic Year/course: 2023/24

453 - Degree in Mathematics

27045 - Applied and Computational Algebra


Syllabus Information

Academic year:
2023/24
Subject:
27045 - Applied and Computational Algebra
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
6.0
Year:
4
Semester:
Second semester
Subject type:
Optional
Module:
---

1. General information

Three applications of algebra have been selected. Groebner bases, which solve problems related to polynomials in several variables. Current cryptography, RSA and methods related to the discrete logarithm problem, in particular based on elliptic curves. Theory of error correcting codes for data transmissions based on linear algebra and finite fields.

The approaches and objectives of this module are aligned with the Sustainable Development Goals (SDGs) of the United Nations 2030 Agenda; the learning activities could contribute to some extent to the achievement of the goals 4 (quality education), 5 (gender equality), 8 (decent work and economic growth), and 10 (reducing inequality).

2. Learning results

  • Develop and apply algorithms.
  • Appreciate the application of algebra topics in problems of social and technological interest.
  • Know in depth the mathematical mechanisms that solve security and authenticity problems in data transmissions.
  • Know the power of algorithms derived from Gröbner bases.

3. Syllabus

  1. Gröbner bases.
    1. Orderings on the monomials.
    2. Monomial ideals and Dickson's lemma.
    3. Hilbert's basis theorem.
    4. Properties of Gröbner bases.
    5. Applications of the Gröbner bases.
  2. Cryptography.
    1. Principles of cryptography.
    2. The Advanced Encryption Standard System (AES).
    3. Public-key cryptography. The RSA cryptosystem.
    4. Public-key cryptosystems based on the discrete logarithm problem.
    5. Elliptic curve cryptosystems.
    6. Electronic signature. The electronic identity card (DNIe).
    7. Hash functions.
  3. Error correcting codes.
    1. Error-detector codes.
    2. Linear codes.
    3. The Hamming codes.
    4. Multiple-error correcting codes: BCH codes.
    5. Burst error-correcting codes: the Reed-Solomon codes.

4. Academic activities

Master classes: 45 hours.
Problem solving: 15 hours.
Study: 85 hours.
Assessment tests: 5 hours.

5. Assessment system

  • Participation during the development of classes, both theoretical, practical and on the computer.
  • Resolution of some problems proposed to present in class.
  • Development of computer programs, in which some of the algorithms submitted in class are materialized, and their application to specific cases.
  • Written exams of the different parts of the subject.

Each of the three parts of the course will have an independent grade that will be 1/3 of the overall grade. For each part there will be at least one computer practice and a maximum of three. For each part there will be at least one exam before the global exam that will account for 90% of the grade for that part. To pass, it will be necessary to have done all the proposed computer practices and have passed the exams corresponding to the three parts of the subject. The global exam may be used to pass or raise the grade in all or in any of the three parts of the subject.

The LaTeX presentations of some of the proposed exercises will be valued.

Any student will be guaranteed the right to pass the subject by a final comprehensive exam.


Curso Académico: 2023/24

453 - Graduado en Matemáticas

27045 - Álgebra aplicada y computacional


Información del Plan Docente

Año académico:
2023/24
Asignatura:
27045 - Álgebra aplicada y computacional
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
Titulación:
453 - Graduado en Matemáticas
Créditos:
6.0
Curso:
4
Periodo de impartición:
Segundo semestre
Clase de asignatura:
Optativa
Materia:
---

1. Información básica de la asignatura

Se han seleccionado tres aplicaciones del álgebra. Bases de Groebner que resuelven problemas relacionados con polinomios en varias variables. Criptografía actual, RSA y métodos relacionados con el problema del logaritmo discreto, en particular basados en curvas elípticas. Teoría de códigos correctores de errores que se producen en las trasmisiones de datos basados en álgebra lineal y cuerpos finitos.

Los planteamientos y objetivos de la asignatura están alineados con los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas; en concreto, las actividades de aprendizaje previstas en esta asignatura contribuirán en alguna medida al logro de los objetivos 4 (educación de calidad), 5 (igualdad de género), 8 (trabajo decente y crecimiento económico) y 10 (reducción de las desigualdades).

2. Resultados de aprendizaje

  • Desarrollar y aplicar algoritmos.
  • Apreciar la aplicación de temas del álgebra en problemas de interés social y tecnológico.
  • Conocer en profundidad los mecanismos matemáticos que resuelven problemas de seguridad y autenticidad en trasmisiones de datos.
  • Conocer la potencia de los algoritmos derivados de las bases de Gröbner.

3. Programa de la asignatura

  1. Bases de Gröbner.
    1. Órdenes monomiales.
    2. Ideales monomiales. Lema de Dickson.
    3. El teorema de la base de Hilbert.
    4. Propiedades de las bases de Gröbner.
    5. Aplicaciones de las bases de Gröbner.
  2. Criptografía.
    1. Principios de criptografía.
    2. El sistema estándar de encriptación avanzada (AES).
    3. Criptografía de clave pública. Método RSA.
    4. Criptosistemas basados en el problema del logoritmo discreto.
    5. Tendencias actuales: criptografía de curvas elípticas.
    6. Firma electrónica. El DNIe.
    7. Funciones Hash.
  3. Códigos correctores de errores.
    1. Códigos detectores de errores.
    2. Códigos lineales. Corrección de errores.
    3. Códigos de Hamming.
    4. Códigos multicorrectores: BCH.
    5. Códigos correctores de errores a ráfagas, códigos RS.

4. Actividades académicas

Clases magistrales: 45 horas.
Prácticas informatizadas: 15 horas.
Estudio: 85 horas.
Pruebas de evaluación: 5 horas.

5. Sistema de evaluación

  • Participación durante el desarrollo de las clases, tanto en las de carácter teórico, como práctico como de ordenador.
  • Resolución de algunos problemas propuestos para exponer en clase.
  • Elaboración de programas de ordenador, en los que se materialicen algunos de los algoritmos presentados en clase, y su aplicación a casos concretos.
  • Exámenes escritos de las distintas partes de la asignatura.

Cada una de las tres partes de la asignatura tendrá una calificación independiente que supondrá 1/3 de la calificación global. Para cada parte habrá al menos una practica de ordenador y un máximo de tres. Para cada parte habrá al menos un examen antes de la prueba global que supondrá el 90% de la calificación de esa parte. Para aprobar será necesario haber hecho todas las prácticas de ordenador propuestas y haber aprobado los exámenes correspondientes a las tres partes de la asignatura. El examen global podrá servir para aprobar o para subir nota en todas o en alguna de las tres partes de la asignatura.

Se valorarán las presentaciones en LaTeX de algunos de los ejercicios que se propongan.

Sin menoscabo del derecho que, según la normativa vigente, asiste al estudiante para presentarse y, en su caso, superar la asignatura mediante la realización de una prueba global.